Testserie 6.1

T611

Verständnisfragen

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Bestimmen Sie die Komponenten eines Tangentialvektors zu einer Höhenlinie der allgemeinen Funktion $F(x,y)$ von zwei Variablen!

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Im Grundriss eines 2D Konturplots zeigt der Gradientvektor in die Richtung des steilsten Aufstiegs, entlang der sogenanten Fall-Linie. Überlegen Sie sich, welche z-Komponente man einem solchen Vektor in einem 3D Flächenplot zuordnen müsste, damit er zur Oberfläche tangential verläuft!

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Warum ist es unumgänglich, dass beim Aufstellen der Lagrange-Funktion die Nebenbedingung in der ``$=0$-Form'' also als $G(x_1,x_2,\ldots) =0$ einbezogen wird?

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Bei der eindimensionalen Newton-Iteration zur Nullstellensuche verwendet man den Vorfaktor $-1/f'(x^{(k)})$, um aus der noch vorhandenen Abweichung von Null $f'(x^{(k)})$ eine x-Korrektur zu erhalten. Wie lautet das mehrdimensionale Analogon zum Term $-1/f'(x^{(k)})$?

T612

Produzieren Sie ein M-File zur Erstellung eines 3D-Konturplots der rotierten Glockenkurve mit den Werten  $h(x,y) = (1-x^2-y^2)^2 ~$für$~ x^2+y^2<1 ~$und$~ h=0 ~$sonst!

T613

Über einem Quadrat A(0/0), B(5/0), C(5/5), D(0/5) sind die Höhenwerte an den Ecken hA=0, hB=1, hC=4, hD=1. Dazwischen ist die Höhenfunktion durch bilineare Interpolation bestimmt. Mit $f=x/5$ und $g=y/5$ ist
$h(x,y) = hA+ f(hB-hA) + g(hD-hA) + f\cdot g (hC-hD-hB+hA)$
Erstellen Sie ein M-File zur 3D-Darstellung dieser Fläche, sowie je in einer anderen Figur die Darstellungen der beiden Flächen mit den Werten der partiellen Ableitungen!

T614

Lösen sie das Optimierungproblem Z = min. $Z(x,y,z) = 4 x^2 + y^ 2 + z$ unter der Nebenbedingung $(x + 2y + 4z = 8)$ !

T615

Erstellen Sie ein M-File, das die Nullstelle $(x/y)$ des Funktionspaars $F_1 = x^4+y^4-20$ und $F_2 = x^2-y^2-1$ mit der Newton-Iteration sucht.