Miniprojekte zur Elementarmathematik

201   Pythagoreische Schnecke

 
Beim ersten rechtwinkligen Dreieck haben beiden Katheten die Länge 1. Platzieren Sie dieses im Koordinatensystem so, dass die Ecken bei (0/0), (1/0) und (1/1) liegen. Die Hypotenuse hat dann die Länge $\sqrt{2}$ und zeigt in die 45 $^{\mathrm{o}}$-Richtung. Für jedes nachfolgende Dreieck wird die Hypotenuse des vorangegangenen zur neuen Kathete und am äußeren Punkt wird eine Kathete der Länge 1 angefügt (im rechten Winkel, versteht sich).
Nach dem Satz von Pythagoras erhalten die Katheten die Längen $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, etc. und die Winkel beim Nullpunkt werden immer kleiner. Erstellen Sie ein MATLAB M-File, das eine solche Serie von Dreiecken zeichnet und probieren Sie aus, wieviele Dreiecke man braucht, um bis zu 360 $^{\mathrm{o}}$ zu kommen. Freuen Sie sich an der hübschen Figur!

202   3D Darstellung eines Moebius-Bandes

 
Benutzen Sie 3D Kurven in Parameterdarstellung zum Visualisieren eines Moebius-Bandes. Dazu muss eine kurze Strecke, deren Mittelpunkt auf einem Kreis verläuft und die immer in einer radialen Ebene bleibt, zusätzlich eine halbe Drehung (180 $^{\mathrm{o}}$) um eine tangentiale Achse pro Umlauf um den Kreis ausführen.

203   Von Geisterhand aufgebaute Vielecke

 
Erzeugen Sie ein M-File, das einen Film nach dem folgenden Drehbuch ablaufen lässt:
In der ersten Phase wird aus dem Punkt (0/1) heraus ein gleichseitiges Dreieck generiert, das bereits beim Aufbau immer im Einheitskreis einbeschrieben ist. Jede Seite bildet zuerst eine immer länger werdende Sehne, solange bis sie die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks erreicht hat. Dann bildet sich eine Ecke und die nächste Sehne startet mit der Länge 0 und wird immer länger, während die vorher produzierte Seite (bzw. Seiten) sich weiter dreht (drehen). Dies geht so lange, bis alle drei Sehnen, eine nach der anderen, die richtige Länge erreicht haben; dann ist das gleichseitige Dreieck fertig.
In den folgenden Phasen wird das Dreieck zum Quadrat ergänzt, dann das Quadrat zum regulären 5-Eck und so weiter bis ca. zum Achteck. Jedesmal beim Erweitern werden die bisherigen Seiten kürzer und drehen sich, um der langsam zur Länge der neuen Seite anwachsenden Sehne Platz zu machen.
Das Rückwärtslaufen dieses Films ist ebenso spannend, wenn der Punkt (0/1) die Linie langsam wieder auffrisst.

204   Film einer Welle in Bewegung

 
Erstellen Sie einen Film, welcher, ausgehend von der Wellengleichung

$$u(x,t) = \hat{u} \cdot \textrm{e}^{j\cdot(k \cdot x - \omega \cdot t)}$$

die Abfolge der Funktionen $u(x,t)$ in Abhängigkeit von $x$ für die verschiedenen Werte von $t$, $0 \leq t \leq 2\pi/\omega$, aufeinander folgend zeigt.
Wählen Sie also einen Wert für $k$, dazugehörig einen Plot-Bereich, so dass $(xmax-xmin)\cdot k$ mindestens 4, eher aber 7-8 ganze Wellenformen ergibt. Dann brauchen Sie nur noch etwa 20 bis 30 Varianten dieser Wellen für verschiedene Zeitpunkte nacheinander zu zeichnen und jeweils die vorhergehende Wellenform zu löschen.