Miniprojekte zur linearen Algebra

301   Allgemeines rechteckiges Widerstands-Netz

 
In einem Widerstands-Netz, das rein rechteckig ist, und n mal m quadratische Zellen aufweist, sollen die Widerstände in den horizontalen Linien in der Matrix H und diejenigen in den vertikalen Linien in der Matrix V vorgegeben werden. Erzeugen Sie ein MATLAB-M-File, das den Ersatzwiderstand berechnet bei gegebenen Werten von n und m und in H und V gespeicherten Widerstands-Werten. (Zuerst müssen Sie die richtigen Dimensionen von H und V bestimmen).

302   Einfache und vollständige Pivot-Strategie

 
Programmieren Sie in MATLAB den Gauß-Algorithmus mit vollständiger Pivot-Strategie. Bei dieser Variante wird das gesamte verbleibende Rechteck nach dem Element mit dem größten Betrag abgesucht. Dieses wird dann durch Vertauschung von Zeilen und Spalten zum Pivot-Element gemacht. Achtung! Beim Vertauschen von Spalten muss die Reihenfolge der Unbekannten in derselben Weise vertauscht werden.

Entwickeln Sie eine effizientes Verfahren zum Abspeichern aller im Berechnungsablauf vorgenommenen Spaltenvertauschungen und zum Rückgängigmachen derselben am Schluss der Berechnungen.

Vergleichen Sie für einige Gleichungssysteme die Resultate dieses Verfahrens mit demjenigen mit reiner Zeilenvertauschung. Zum Erzeugen von nahezu singulären Matrizen kann man einzelne Zeilen in zwei- oder mehrfach kopieren und dann die Kopien gegeneinander nur leicht variieren.

303   Wirkung der Asymmetrie bei Eigenwertproblemen

 
Erzeugen Sie beliebige symmetrische Matrizen durch A=rand(ndim) ; S = A+A'. Vergewissern Sie sich, dass deren Eigenwerte alle verschieden sind.

Ändern Sie nun ein einzelnes Außendiagonalelement in mehreren Stufen, um eine Asymmetrie einzuführen und beobachten Sie die Änderungen der Eigenwerte.