Gauss-Algorithmus und L-R-Zerlegung

30-47   Showtime Gauß-Algorithmus und L-R-Zerlegung

 
Sehen Sie sich die Demo-Programme showgauss.m und showlr.m für verschiedene Matrizen und rechte Seiten an, und zwar immer für eine Matrix M und einen Vektor b zuerst showgauss(M,b) und anschließend showlr(M).
Die beiden Files sind im Anhang ,,B.3 M-Files zur Linearen Algebra`` und auf der Begleit-CD zu finden.

30-48  Pivot-Strategie

 
Erstellen Sie ein MATLAB-Script, welches für eine bereits teilweise in R-Form überführte Matrix in der Spalte k die möglichen Pivot-Elemente vergleicht, das betragsmäßig Größte sucht und die entsprechenden Teilzeilen miteinander vertauscht (=Zwischenschritt am Anfang jeder Spaltenverarbeitung).

30-49  Spezielles Rückwärtseinsetzen

 
Programmieren Sie die Lösung durch Rückwärtseinsetzen für ein Gleichungssystem $R*x=b$. Vom Gleichungssystem wird die spezielle Eigenschaft vorausgesetzt, dass die Rechts-Dreiecksmatrix $R$ nur in der Diagonalen und in der direkt zur Diagonalen benachbarten Linie (d.h. der oberen Nebendiagonalen) Elemente mit Werten verschieden von Null aufweist.

30-50  L-Teilmatrizen in der L-R-Zerlegung

 
Führen Sie die einzelnen Schritte der Gauß-Elimination für die untenstehende Matrix mit Bleistift und Papier aus. Erzeugen Sie aus den Kombinationskoeffizienten die Teilmatrizen L1 und L2, so dass gilt:
1. Schritt: $\mathbf{A1 = L1 \cdot A}$ ,   2. Schritt: $\mathbf{R = A2 = L2 \cdot A1}$
insgesamt: $\mathbf{R = L2 \cdot L1 \cdot A}$
Bilden Sie anschließend mit MATLAB die Matrizen $L1^{-1}$ und $L2^{-1}$ und zeigen Sie, dass die von der Bibliotheksprozedur [L,R,P] = lu(A) gelieferte Matrix L dem Produkt $L1^{-1} \cdot L2^{-1}$ entspricht!

$$\mathbf{A} ~=~ \left( \begin{array}{rrr} 4 & 4 & 8 \\ 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right)$$

30-51  Bestandteil einer L-R-Zerlegung

 
Bestimmen Sie in der untenstehenden Matrizengleichung die Parameter $p$ und $q$ so, dass die Elemente $c_{21}$ und $c_{31}$ der Resultatmatrix $\mathbf{C}$ Null werden!

$$\mathbf{C} ~=~ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ p & ... ...rrr} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

30-52  Rückschlüsse aus der L-R-Zerlegung

 
Eine 3x3 R-Matrix hat die Werte [ 1 2 3 ; 0 4 5 ; 0 0 6 ]. Die Multiplikationsfaktoren in der Gauß-Elimination waren von oben nach unten in der ersten Spalte $0.5$ und $-1$, in der zweiten Spalte $-0.4$. Wie lautete die Originalmatrix $A$?

30-53   L-R-Zerlegung mit Bestimmung der Inversen

 
Bestimmen Sie die zwei Zerlegungsmatrizen L und R zur untenstehenden Matrix A mit der Bibliotheksfunktion [L,R,P] = lu(A). Bestimmen Sie anschließend die drei Lösungsvektoren zu den rechten Seiten [1 0 0]', [0 1 0]', [0 0 1]' durch Vorwärts-/Rückwärtseinsetzen in L und R von Hand. Damit haben Sie die Spaltenvektoren von $A^{-1}$ berechnet. Testen Sie dies durch die Multiplikation $A^{-1}\cdot A$

$$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 8 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right)$$