Homogene Koordinatentransformationen in der Ebene

40-15   2D homogene Koordinatentransformationen des ,,L``

Das bereits bekannte ,,L``, definiert durch die drei Punkte (5/2), (5/0) und (6/0), soll in homogene Koordinaten umgeschrieben werden, und die Ortsvektoren der Dimension 3x1 zu einer 3x3 Punktematrix zusammengestellt werden.
Gesucht sind die speziellen 3x3 Matrizen der homogenen Koordinaten, die Bildkoordinaten und ebenfalls ein gemeinsamer Plot von Bild und Urbild für die folgenden Abbildungen:

a)

Verschiebung der L-Ecke nach a${}_1$)(0/5), a${}_2$)(0/0) , a${}_3$) (-5/0)

b)

Drehung um 90 Grad um Ursprung

c)

Drehung um 45, sowie 90 Grad um die eigene Ecke des ,,L``

40-16   Drehungen und Translationen des ,,L``

 
Das Übungs- ,,L`` (5/2) (5/0) (6/0) soll 3 mal um je $45$ $^{\mathrm{o}}$ um den Koordinatenursprung gedreht werden.
An den neuen Koordinaten sollen die gedrehten ,,L`` 's um ihre Ecke um $-45$ $^{\mathrm{o}}$, $-90$ $^{\mathrm{o}}$, $-135$ $^{\mathrm{o}}$ gedreht werden, so dass alle am neuen Ort wieder aufrecht stehen.
Wenn Sie die ursprüngliche Drehung, und dann von links die Drehung um die Ecke in homogenen Koordinaten zusammenmultiplizieren, so werden nur noch Translationen übrigbleiben.

40-17   2D-Abbildung des ,,L`` mit Gegenrotation

 
Schreiben Sie ein Skript zur Erzeugung und anschließenden Anwendung der Transformationsmatrix in homogenen Koordinaten, welche den Eckpunkt des ,,L`` um einen vorgegebenen Winkel um den Ursprung dreht und gleichzeitig die ,,L``-Figur in entgegengesetzter Richtung um ihre Ecke um denselben Winkel dreht.

40-18   2D-Bewegung des ,,L`` mit allgemeinem Winkelparameter

Die Ecke des ,,L``, definiert durch die drei Punkte (5/2), (5/0) und (6/0) soll um den allgemeinen Winkelparameter 'w' auf einem Kreis (mit dem Radius 5) bewegt werden. Dabei soll

a)

Die Orientierung des ,,L`` (vertikal) bei der Bewegung erhalten bleiben.

b)

Das ,,L`` eine Drehung um den Winkel -w (Gegendrehung mit gleichem Winkelbetrag) ausführen.

Bestimmen Sie für die beiden Fälle die homogenen Transformationsmatrizen, je als Funktion des Winkels 'w' und testen Sie diese Abbildungen mit einem Plot des abgebildeten ,,L``!

40-19   Dreiecksabbildung auf sich selbst:

 
Gegeben Sei ein gleichseitiges Dreieck A$(0/0)$, B$(10/0)$, C $(5/5\sqrt{3})$.
Gesucht sind die zwei Transformationsmatrizen in homogenen Koordinaten, welche das Dreieck auf sich selbst abbilden und zwar

a)

A' = B, B' = C, C' = A    und

b)

A'' = C, B'' = A, C'' = B.

Zeigen Sie dass $T_{a)} =T_{b)}^{-1}$ ist!

40-20   Mehrfache Abbildung eines Rechtecks

 
Das Rechteck $A B C D$, $A=(0/0)$, $B=(10/0)$, $C=(10/2)$, $D=(0/2)$ soll um den Punkt $D$ um $90^{\mathrm{o}}$ gedreht werden. Das einmal gedrehte Rechteck $A_1 B_1 C_1 D_1$ soll anschliessend um den Punkt $B_1$ ebenfalls um $90^{\mathrm{o}}$ gedreht werden, dann $A_2 B_2 C_2 D_2$ um $D_2$. So bilden die vier Rechtecke ein Quadrat mit Seitenlänge 12 um einem Innenhof mit Seitenlänge 8. Führen Sie diese Abbildungen in homogenen Koordinaten aus und stellen sie grafisch dar. Zeigen Sie, dass, zusammen mit einer vierten Rotation um $B_3$, die aus allen vier Gesamttransformationen zusammengesetzte Transformationsmatrix die Identität ergibt ( $A_4 B_4 C_4 D_4$ ist wieder $A B C D$).

40-21   Zwei verschiedene Abbildungen überdecken sich

 
Das Rechteck $A B C D$, $A=(0/0)$, $B=(8/0)$, $C=(8/4)$, $D=(0/4)$ wird einmal an der Geraden $C D$ gespiegelt und als zweite Abbildung um den Mittelpunkt der Strecke $C D$ um 180 $^{\mathrm{o}}$gedreht. Führen Sie diese beiden Transformationen in homogenen Koordinaten durch. Zeigen Sie in einer Grafik, dass sich die beiden Bilder überdecken. Die Überdeckung erfolge jedoch nicht Punkt für Punkt, deshalb gibt es eine Korrespondenz-Tabelle der Art $A_1 =B_2$ etc.