Homogene Koordinatentransformationen im Raum

40-22  3D-Abbildung eines Dreibeins

 
Das Dreibein mit den Ecken A=(0/0/0), B=(10/0/0), C(0/10/0) und D=(0/0/10) soll einer Punktspiegelung am Punkt (5/5/5) unterworfen werden. Der 3x3-Teil für die Punktspiegelung am Ursprung ist ($-$eye(3)).

40-23  3D Abbildung zwischen den Stufen einer Wendeltreppe

 
Für eine Wendeltreppe wird verinfachen angenommen, sie sei aus quaderförmigegen Blöcken der Dimension 100x50x18cm gebaut. Der Innenradius sei 50 cm. Jede der 7 Stufen hat gegenüber der vorherigen eine Verdrehung von 15 $^{\mathrm{o}}$. Bestimmen Sie die Transformation in homogenen Koordinaten, die von einem Block zum nächsten führt und erstellen Sie eine 3D Figur der Treppe.

40-24  Sich expandierender Würfel

 
Ein Würfel mit den Ecken $A=(-2/-2/-2)$, $B=(2/-2/-2)$, $C=(2/2/-2)$, $E=(-2/-2/2)$, etc. soll an seinen 8 Ecken je durch eine räumliche Punktspiegelung nach aussen transformiert werden. Erstellen Sie eine 3D Grafik dieses Gebildes, das von den 27 Würfelplätzen im dreifach erweiterten Volumen nur 9 Plätze ausfüllt!

40-25   3D: ``L'' dreht sich vor dem Spiegel:

 
Ein 2 Meter grosses ``L'' mit 1 Meter Fusslänge steht aufrecht beim Punkt [2 -4 0]' und dreht sich um die z-Achse. Die x-z-Ebene sei ein Spiegel mit den Ecken (0/0/0) (4/0/0) (4/0/3) (0/0/3). Zeichnen Sie die 3D-Parallelperspektive von ,,L``, seinem Spiegelbild und den Spiegelrändern von einem Punkt im Azimut im Bereich 290 $^{\mathrm{o}}$ bis 310 $^{\mathrm{o}}$ aus. Der Betrachtungspunkt soll etwas oberhalb der x-y-Ebene liegen.

40-26   Fünf Sterne in 3 Dimensionen

 
Die Eckpunkte eines Würfels mit Kantenlänge 2 ABCD-EFGH:

werden von jeder Fläche aus mit einer darüberliegenden Spitze TWNSOU

zu einer Pyramide verbunden. Dies ergibt einen 3D-Stern mit 6 Spitzen. Suchen Sie eine Punktfolge dieser 14 Punkte, so dass alle Kanten durchlaufen werden. Erzeugen Sie die dazugehörige Vektorzusammenstellungsmatrix, um diesen Stern in einem Plot-Aufruf zu zeichnen. Durch homogene Koordinatentransformationen im 3D soll dieser Stern je in x- und y-Richtung um 15 cm verschoben kopiert werden. Erzeugen Sie anschließend ein gedrehtes Bild dieser Anordnung von 5 Sternen und ändern Sie die Betrachtungswinkel.

40-27   Ansicht aus dem Helikopter

 
Die folgenden Befehle definieren in MATLAB die Eckpunkte und einen Linienzug, der ein einfaches Haus zeichnet (in homogenen Koordinaten).

Wenden Sie zuerst eine 3D-Rotation in homogenen Koordinaten um die z-Achse um den (beliebigen) Winkel w an. Anschließend soll eine Rotation um den Winkel $-$t (negativ, weniger als 25 Grad) um die neue y'-Achse erfolgen, um das Haus vom Helikopter aus zu sehen! Achtung! Winkel von Grad in Radiant umrechnen.
Die Darstellung mit plot3(Hrot(1,:), Hrot(2,:), Hrot(2,:)) kann analog zum 2-dimensionalen Fall mit axis ([ xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax]) und axis square ergänzt werden.