Numerische Lösung von Differentialgleichungen

70-1  Wegweiserfeld

 
Eine hervorragende Visualisierung des Lösungsvorgangs bei Differentialgleichungen ist die Suche des Kurvenverlaufes von einem Startpunkt aus, in einem Feld von Wegweisern, welche die lokal gültigen Tangentialrichtungen vorschreiben.
Das Erzeugen eines solchen Wegweiserfeld-Plots ist gleichzeitig eine einfache Programmierübung. (Empfehlung: Einheiten = cm, Feld 25 cm in x 16 cm in y. Differentialgleichung: $y' = -0.1*y$, 2.Fall $y' = -0.3*y$)

70-2  Einfache Differentialgleichung:

 
Lösen Sie die Differentialgleichung $y' = -0.2*y$, $y(0) = 15$ t=0..25
- analytisch
- grafisch, indem Sie in einem Richtungsfeld den Verlauf einzeichnen
- mit MATLAB:

   yin = 15;
   ysol = ode45('decay02',25, yin);
   %und dem function-M-file decay02.m
   function deri  = decay02(tval,yval); 
   deri = -0.2* yval;

70-3   Euler-Verfahren eindimensional

 
Programmieren Sie in einem einfachen Skript die Lösung einer radioaktiven Zerfalls-Gleichung $y' = -0.1*y$ nach dem Euler-Verfahren $y_{n+1} = y_n + h \cdot y'_n$ mit konstantem Schritt h.

70-4   Einzelschritte mit dem Euler-Verfahren

 
Das differentialgleichungssystem 2. Ordnung eines geladenen Teilchens im konstanten Magnetfeld $\ddot{x} = - 0.1 \cdot \dot{y}$ ; $\ddot{y} = 0.1 \cdot \dot{x}$ mit den Anfangsbedingungen $x(0) = 10$, $y(0) = 0$, $\dot{x}(0) = 0$, $\dot{y}(0) = 1$ muss zuerst in ein System 1. Ordnung transformiert werden. Anschließend sollen drei Schritte nach dem Euler-Verfahren mit Schrittweiten von 0.2 durch Berechnen aller Zwischenresultate ,,von Hand`` berechnet werden.

70-5   Euler-Verfahren analog zur Bibliotheksprozedur

 
Mit Hilfe des Funktions-Aufrufes fresult = feval('prozedurname',paramater1, parameter2) lässt sich eine Prozedur zum Lösen eines Differentialgleichungssystems erstellen, welche dieselbe Signatur aufweist wie die Bibliotheksprozeduren (z.B. ode45()), die aber nach dem ganz einfache Euler-Verfahren arbeitet. Der Quervergleich zwischen den Lösungen mit der selbst erstellten Euler-Lösung und der Bibliotheksprozedur ode45 zeigt bei Schwingungs-Differentialgleichungen das interessante Resultat, dass das einfache Verfahren bei genügend kleiner Schrittweite nur wenig vom professionellen Verfahren abweicht, und zwar vorwiegend bei der Phasenlage.