Differentialgleichungen höherer Ordnung

70-6  Umsetzen von Differentialgleichungen höherer Ordnung in Systeme erster Ordnung

 
Die Differentialgleichung des gedämpften, angeregten Oszillators $y'' + d*y' + w^2*y = a*\sin(w*t)$ mit z.B. w=2, d= 0.1, a = 0.5 soll zu den Anfangsbedingungen $y(0)=0$ und $y'(0)=0$ mit MATLAB gelöst werden. Beachten Sie besonders die Umsetzung in ein System erster Ordnung durch das Einführen einer neuen Variablen $y'$. Die Regeln für das Erstellen des Funktions-M-Files und der Aufruf mit vordefinierten Startwerten sind ebenfalls zu beachten!
yin = [ 0 0 ]'  ;     [tsol ysol] = ode45('dampedosc',20,yin)

70-7   Differentialgleichung zweiter Ordnung

 
Stellen Sie die Differentialgleichungssysteme auf für die folgenden Differentialgleichungen höherer Ordnung:
$y'' = -y$
$y'' + 0.1*y' + 25*y = 0$
$y^{IV} = 0$
Lösen Sie diese mit MATLAB für die Anfangswerte $y(0) = 1$ und $y', y'', y''' = 0$ im Bereich $x = 0..4$

70-8   Freier Fall mit Luftwiderstand

 
Wenn man der Differentialgleichung für den freien Fall $y'' = -g$, ($y =$ Höhendifferenz zu Startpunkt, immer stärker negativ werdend, Erdbeschleunigung $g=9.81$ m/s$^2$) einen Bremsterm proportional zu $v^2$für den Luftwiderstand beifügt $y'' = -g + C\cdot (y')^2$, ergibt sich ein Grenzwert für die Fallgeschwindigkeit, der natürlich stark vom Bremsfaktor abhängt (Fallschirm, Meteorit, Körperform des Luftakrobaten). Experimentieren Sie mit dieser Differentialgleichung bei verschiedenen Bremsfaktoren!

70-9   Oszillator mit Parametereingabe von außen

 
Verwenden Sie die Möglichkeit, Variablen die als 'global' deklariert sind, um die Eigenfrequenz, die Dämpfung und die Anregungsfrequenz aus dem, den ode-Löser aufrufenden Skript, in die Ableitungsfunktion hinein zu übermitteln. Machen Sie damit verschiedene Versuche über die Wirkung der Dämpfung, und der Differenz zwischen Anregung und Eigenfrequenz.