Systeme von Differentialgleichungen

70-10  Schiefer Wurf in 3D

 
Ein einfaches System von 3 Differentialgleichungen je 2. Ordnung sind die Bewegungen unter alleiniger Wirkung der Schwerkraft: $x''= 0~~,~~~y'' = 0~~,~~~ z''=-9.81$. Die Lösung mit MATLAB ergibt ein System mit 6 Variablen. Die Anfangsbedingungen können $x_0$, $y_0$, $z_0$ alle Null setzen, die Anfangsgeschwindigkeiten (in m/sec) bestimmen dann die Flugbahn. ($z'_0$ sollte positiv sein und eines der $x'_0$, $y'_0$ verschieden von 0).

70-11   Radioaktiver Tochterzerfall

 
Unter der Annahme, dass beim Start $N_0$ Kerne des Isotopes $N$ mit der Zerfallskonstanten $\lambda_n$ und keine des Tochterkerns M $M_0=0$ mit $\lambda_m$ vorhanden sind soll das System von gekoppelten Differentialgleichungen $dN/dt = - \lambda_n N(t)$ und $dM/dt = - \lambda_m M(t) + \lambda_n N(t)$ gelöst werden. (Die beim Zerfall des Typs N entstehenden Tochter-Isotope vom Typ M zerfallen selbst mit der Zeitkonstante $\lambda_m$.)

70-12   Geladenes Teilchen in 2D im konstanten Magnetfeld

 
Ein elektrisch geladenes Teilchen im konstanten Magnetfeld senkrecht zur x-y-Ebene bewegt sich auf einem Kreis. Demonstrieren Sie diese Tatsache durch Lösen des Differentialgleichungs-Systems

$$\ddot{x}=-C \cdot v_y \quad \ddot{y}= C \cdot v_x.$$

70-13   E $\times$ B -Drift:

 
Berechnen und zeichnen Sie die Bahnen von geladenen Teilchen unter dem Einfluss eines konstanten Magnetfeldes, das von oben senkrecht in die Tafelebene zeigt und einem simultanen elektrischen Feld in x-Richtung. Zur Beschleunigung senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit, verursacht durch das Magnetfeld, wie in der letzten Aufgabe ( $\ddot{x}=-C \cdot v_y$ und $\ddot{y}= C \cdot v_x$) kommt eine konstante Beschleunigung in x-Richtung durch das E-Feld hinzu:

$$\Delta\ddot{x}= k\cdot E.$$

70-14   3D-Bahnen unter konstantem Magnetfeld beliebiger Richtung

 
Bestimmen Sie aus der allgemeinen Formel für die Lorentz-Kraft $F=e \cdot v \times B$ die 3D Bewegung eines geladenen Teilchens in einem beliebigen konstanten Magnetfeld ( $[B_x, B_y, B_z]'$) durch Aufstellen, Transformieren und Lösen der Differentialgleichung.

70-15   Massenpunkt im Potentialtopf:

 
Bestimmen Sie die Bahngleichungen einer in einem parabelförmigen Topf reibungsfrei gleitenden Kugel und integrieren Sie einige Beispielbahnen!