Lösungshinweise zum Kapitel 2

Im Text enthaltene Übungen

 

23-1 1+j*0; -1+j*0; 5+0i; -2+0i; 0+1i; 0+3i; 0-j; 0-2j; 1+j; -1-j; $1+j\sqrt{3}$; $1-j\sqrt{3}$;
1*exp(j*0);1*exp(j*pi);5*exp(j*0); 2*exp(j*pi); 1*exp(j*pi/2); 3*exp(j*pi/2); 1*exp(j*3*pi/2); 2*exp(j*3*pi/2); sqrt(2)*exp(j*pi/4); sqrt(2)*exp(-j*pi/4); 2*exp(j*pi/3); 2*exp(-j*pi/3);

23-2 6+3j; 6+3j; 3+3j; 6-3j; 6; 4j; 4j; 1-j

23-3 a) ... 4+2j, 0+2j, 3+2j, 2-(-1)^k*(6-int(k/2)+2j , 2+2j
b)(6+4j)*j^(k-1)
c))sqrt(2)*exp(j*(k-1)*pi/4)
d)sqrt(2)^(k-1) *exp(j*(k-1)*3*pi/4)

23-4 4*j; 6*exp(j*pi/4); j*j-1 = -2; 4*exp(j*pi/6*(1+7)); 2 -2j; 8-8j; -2+2j; 4/25-j*3/25; sqrt(2)/sqrt(2)*exp(j*(pi/4-(-pi/4)))=j

23-5 imag(z) = $(z-\overline{z})/2$; $\vert z\vert = \sqrt{ z*\overline{z}}$; $\arg(z) = \log(z/\sqrt{ z*\overline{z}})/j$ Drehen: z*$\pm$i ; Punktspiegelung: -z

23-6 $z =\overline{z}$: reelle Achse; imag(z)$>$0: obere Halbebene; $\vert z\vert < 2$: Inneres, Kreis r=2; arg(z) = 135 $^{\mathrm{o}}$  : Winkelhalbierende I. Quadrant; $0 < \arg(z^2) < 180^{\mathrm{o}}$: I. Quadrant und III. Quadrant

23-7 Zum Beispiel (1*exp(j*pi/4))^4 = sqrt(2)^4/2^4*(1+j)^4=4/16*(1+4j+6j^2+4j^3+j^4) = -1

Funktionsplots

 

20-1, 20-2 siehe Anhang: Beispiele von M-Files

20-3 t=(0:0.01:1)*2*pi; plot(t,cos(t)); hold on; plot(t,sin(t),'r')

20-4 a = input('cos-Faktor'); b = input('sin-Faktor'); t=(0:0.01:1)*2*pi;
plot(t,cos(t)); hold on; plot(t,sin(t)) ; plot(t,a*cos(t)+b*sin(t),'r')

20-5 Versuchen Sie z.B.
genfcplot('cos'), genfcplot('tan'), genfcplot('exp')

20-6 a=2; x=-5:0.05:5; y = a^3./(a^2+x^2) ; plot(x,y)

20-7 x=-1:0.01:1; y1=(1-x.^2)^1 ; y2=(1-x.^2)^2 ;
y2=(1-x.^2)^4 ; plot(x,y1); hold on; plot(x,y2); plot( x,y3)

Kurven in Parameterdarstellung, Lissajous-Figuren

 

20-8 t=(0:0.002:1)*2*pi; x=cos(t) ; d=0; y=sin(t+d) ; plot(x,y)
dann: d=pi/2 ; oder: d=0.12, d=3*pi/4, d=pi, etc.
1:2 mit: x=cos(t) ; d=variabel; y=sin(2*t+d) ; plot(x,y)
2:1 mit: x=cos(2*t) ; d=variabel; y=sin(t+d) ; plot(x,y)

20-9 t=(0:0.002:1)*2*pi; x=cos(k*t) ; d=variabel; y=sin(l*t+d) ; plot(x,y)
mit Vordefinition von k und l, sowie verschiedenen d.

20-10 ,,Gezieltes Erraten``: welche sin/cos-Funktion passt in die Punkteschar
für x bzw. für y, die man beim Durchlaufen (Abfahren) der Kurve ausliest?
x = 1, 0.5, -0.5, -1, -0.5, 0.5, 1, 0.5, -0.5, -1, -0.5, 0.5, 1
y = 1, 0,   -1  ,  0,  1,   0,  -1, 0,    1,    0, -1,   0,   1
x - 2 Schwingungen, beginnend mit 1: x=cos(2*t),
y - 3 Schwingungen, beginnend mit 1: y=cos(3*t)

Kurven in Parameterdarstellung, Spiralen

 

20-11 Der Radius muss pro Umgang um 1 größer werden d.h. c=1/(2*pi).
Startwinkel w0=0, weil r(0) = 0, r(2*pi)=1; r(4*pi)=2, r(6*pi)=2, etc.
Bei Linksdrehung zunehmend
(positiver mathematischer Winkelvorschub): c=1/(2*pi).
Bei Rechtsdrehung zunehmend
(negativer mathematischer Winkelvorschub): c=-1/(2*pi).
t = (0:0.01:5)*2*pi; r=1/(2*pi)*t, bzw. r=-1/(2*pi)*t; polar(t,r);
oder x = r.*cos(t) y = r.*sin(t)

20-12 Ansatz: r(w) = c*(w-w0),
angewendet auf (3/0): r(0)= c*(0-w0) = 3,
angewendet auf (0/4): r(pi/2) = c*(pi/2-w0) = 4.
w0 aus 1. Gleichung: x0 = -3/c,
eingesetzt in 2. Gleichung c*(pi/2 + 3/c) = 4 = c*pi/2 + 3 ergibt c*pi/2 = 1,
also c=2/pi und w0 = -3*pi/2
t = (0:0.01:5)*2*pi; r=(2/pi)*t, polar(t,r); oder x = r.*cos(t) y = r.*sin(t)

20-13 Ansatz: r(w) = a*exp(k*w),
angewendet auf (1/0): r(0)= a*exp(k*0) = 1, also a=1
angewendet auf (3/0): r(2*pi) = 1*exp(k*2*pi) = 3, also k = log(3)/(2*pi)
t = (0:0.01:2)*2*pi; r=exp(k*t), polar(t,r); oder x = r.*cos(t) y = r.*sin(t)

Kurven in Parameterdarstellung, Zykloiden

 

20-14 rP = 1; t = (0:0.01:1)*2*pi; xOM = t; yOM = 1;
xMP= -rP*sin(t); yMP = -rP*cos(t);
x = xOM+xMP; y = yOM+yMP; plot(x,y);
andere Fälle mit rP = 0.6 (gestreckte Z.) , rP = 1.4 (verschlungene Z.)

20-15 R= 1; r=0.5; t = (0:0.01:1)*2*pi; xOM = (R+r)*sin(t); yOM = (R+r)*cos(t);
xMP= -r*sin(t+R/r*t); yMP = -r*cos(t+R/r*t);
x = xOM+xMP; y = yOM+yMP; plot(x,y);
auch mit anderen r-Werten. Siehe epizyklodemo
bei den Beispiel-M-Files im Anhang.

20-16 R= 1; r=0.5 oder r=0.25;
t = (0:0.01:1)*2*pi; xOM = (R-r)*sin(t); yOM = (R-r)*cos(t);
xMP= -r*sin(t-R/r*t); yMP = -r*cos(t-R/r*t);
x = xOM+xMP; y = yOM+yMP; plot(x,y);
Siehe epizyklodemo bei den Beispiel-M-Files im Anhang mit negativen Werten
für die Vorausdefinition von ZYKRADFAC.
Der Wert r=0.5 ergibt ein gerades Streckenstück,
eine allerdings etwas komplizierte Art, eine Gerade zu zeichnen.

20-17 R= 1; t = (0:0.01:1)*2*pi; xOM = R*cos(t); yOM = R*sin(t);
xMP= R*t*sin(t); yMP = -R*t*cos(t);
x = xOM+xMP; y = yOM+yMP; plot(x,y);
auch mit anderen r-Werten. Siehe evoldemo bei den Beispiel-M-Files im Anhang.

20-18 p = 10; eps = 0.4; w0=0.8; w=(0:0.01:1)*2*pi; r = p./(1-eps*cos(w-w0)
ergibt bereits ein (w,r)-Paar von Vektoren zum Plotten mit polar(w,r)
x = r .* cos(w) ; y = .*sin(w) ; plot(x,y) plottet in Kartesischen Koordinaten.
Beachten Sie die ('./' und '.*') - Operationen!

Dreidimensionale Kurven in Parameterdarstellung

 

20-19 t=(0:0.01:3)*2*pi; x=cos(t) ; y = sin(t) ; z = 0.1*t; plot3(x,y,z)
ylinks = -sin(t); plot3(x,ylinks,z)

20-20 t=(0:0.01:3)*2*pi; xi = 6*cos(t); yi = 6*sin(t);
xa = 9*cos(t); ya = 9*sin(t); z = 4*t/2/pi;
plot3(xi,yi,z);hold on; plot3(xa,ya,z);

20-21 Spielen, experimentieren, probieren mit plot3 und der
Rotationsmöglichkeit mit dem Cursor.

20-22 Wendeltreppe
w = (0:12)/12*2*pi; Ra = 180; Ri = 20; d = 24; T = [];
for k=1:13
T = [ T; [ Ra*cos(w(k)) Ra*sin(w(k)) (k-1)*d ...
Ri*cos(w(k)) Ri*sin(w(k)) (k-1)*d] ]
T = [T; [ Ra*cos(w(k)) Ra*sin(w(k)) k*d ...
Ri*cos(w(k)) Ri*sin(w(k)) k*d]]
end
plot3( T(:,1), T(:,2), T(:,3)); hold on;
plot3( T(:,4), T(:,5), T(:,6));
for k=1:26
plot3([ T(k,1) T(k,4)] , [T(k,2) T(k,5)] ,[T(k,3) T(k,6)] )
end

Folgen und Reihen

 
20-23
$d = (a_n-a_1)/(n-1)$    $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$    $n = (a_n-a_1)/d + 1$    $a_1 = a_n - (n-1)\cdot d$

20-24
$q=2$, $n=64$ $S=(q^n-1)/(q-1)=1.8447E19$ Körner also 9.2E11 Tonnen!

20-25 auf 1297.50 Euro

20-26 Einzahlung pro Jahr 12*R, Einfacher Zins pro Jahr 66/12*3/100*R
Einlage/Jahr E = 12.165*R; Zinseszins-Endkapital = E*47.575=R*587.75; R=863.92 Euro/Monat

20-27 Rückzahlung A=10000/24; Zinstotal Z= 10000/24*25*24/2*8/100/12=833.33; Rate R= (A+Z)/24 = 451.40 . Nach einem Jahr noch ausstehende Ratensumme, wenn 12. Rate schon bezahlt, ergibt 5416.54. Bei Berücksichtigung der für 5000 Euro für die wegfallende Abzahlung über 1 Jahr nicht mehr geschuldeten Zinsen von 5000/12*13*12/2*8/100/12 = 216.66 würde sich diese Restschuld auf 5199.90 reduzieren. Zusammen mit der 12. Rate 5651.30 Euro. Der nicht mehr geschuldete Zins bei vorzeitiger Rückzahlung wird aber in der Praxis meist nicht vergütet (entgangenes Kreditgeschäft).

Komplexe Zahlen

 

20-28
% sum = cplxadd(z1,z2) demo Funktion zur Addition von komplexen Zahlen
function sumbk = cplxadd(z,u)
r = max(abs(z), abs(u)) +2; sumbk = z+u;
plot([0 real(z)], [0 imag(z)],'b'); hold on; axis([-r r -r r]);
plot([0 real(u)], [0 imag(u)],'g')
plot([real(z) real(z)+real(u)], [imag(z) imag(z)+imag(u)],'g')
plot([0 real(z)+real(u)], [0 imag(z)+imag(u)],'r')

20-29 exp(j*w)+exp(-j*w) = 2*cos(w) ; exp(j*w)-exp(-j*w) = 2*j*sin(w) ;
cos(w) = 1/2*(exp(j*w)+exp(-j*w)) ; sin(w) = 1/(2*j)*(exp(j*w)-exp(-j*w)) ;

20-30Für dreifache Winkel:
$\cos^3(w) + 3*j*\cos^2(w)*\sin(w) - 3*\cos(w)*\sin^2(w) -j*\sin^3(w)$
$= \cos(3*w) + j*\sin(3*w)$
Realteil: $\cos(3*w) =\cos^3(w) - 3*\cos(w)*\sin^2(w)$
Imaginärteil: $\sin(3*w)= 3*\cos^2(w)*\sin(w) -\sin^3(w)$

20-31 Z1 .. Z4 = exp(j*(pi/8 + k*2*pi)) ;
Das Quadrat mit den 4 Lösungen ist verdreht, keine reelle Lösung.

Grafiken mit komplexen Zahlen

 

20-32 Z = exp(j*(0:val-1)/val ; plot( Z);

20-33 w = 2*pi*(0:0.01:1); c = exp(j*w); plot(c)

20-34 w = 2*pi*(0:0.01:1); c = exp(j*w) ; A=2; B=0.3;
e = A*real(c) + B*j*imag(c) ; plot(e)

20-35 Die komplexen Ellipsen haben ihren Mittelpunkt im Koordinatenursprung,
die Kepler-Ellipsen dagegen einen der Brennpunkte.

20-36 w = 2*pi*(0:0.01:6); c = exp(j*w); t = w/(2*pi); p = f*t + c; plot(p)
f=0: Kreis; f=0.1 bis f=0.6: ,,Kugelschreiber-Einfahrkurve``
f=1.333: ,,Gartenzaun``; f=2*pi: Zykloide.

20-37 w = 0.67*pi:0.02*pi:4.33*pi; b= exp(j*w) - w/1.5/pi; plot(b,'r*') axis equal

20-38 Die Punkte (a+j*b)^k liegen auf einer logarithmischen Spirale
mit der Gleichung r(t) = 1*exp(log(R)/w*t)
mit R=sqrt(a^2 + b^2) und w = atan(b/a).

Lösungen zu den Selbsttests

 

T211 - Mehrere Linien beim gleichen x-Wert, sowie Kreuzungspunkte.
- $\overline{z} = \mathrm{conj(} z)$;    - $-2 +2*j$     -  $\cos(x),~~ x^2,~~ x^{16},~~ \cosh(x)$

T212 x =[1 0 -1 0 1]; y = [1 -1 1 -1 1]
t=(0:0.02:1)*2*pi; x = cos(t); y=cos(2*t); plot(x,y)

T213 t=(0:0.01:1)*2*pi; plot(5*(t-j*exp(-j*t)))

T214 $\exp(j*(3*pi/8 + k*pi/2))$

T215 $r(w) = a*(w-w_0)$ $r(0)=1$, $r(2\pi)=3$ $a=-2/2\pi$ $w_0 = \pi$
t=-(0:0.02:3)*2*pi; w=t-pi; r =-w/pi;
x = r.*cos(t); y=r.*sin(t); plot(x,y)

T221 - $x(t*) = y(t*)$  -   zr = (z+conj(z))/2 ; zi=-j* (z-conj(z))/2    -  Bei einer Funktion darf einem Wert der unabhängigen Variablen nur ein einziger Wert der abhängigen Variablen zugeordnet sein.   -   $\sin(x),~~~~ x^3,~~ \sinh(x),~~ \cos(x+\pi/2)$

T222 x = [ 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0];
y = [ 0 -0.87 -1 -0.87 0 0.87 1 0.87 0]
t=(0:0.02:1)*2*pi; x = -sin(2*t); y=-sin(t); plot(x,y)

T223 r=5.1; t=(0:0.02:5)*2*pi; p=1.6/2/pi
x=r*cos(t); yl=r*sin(t); yr=-r*sin(t); z=p*t;
plot3(x,yl,z,x,yr,z)

T224 $\exp(j*(pi/24 + k*pi/6))$

T225 $r(w) = a*\exp(k*w)$ $r(0)=1$, $r(2\pi)=2$ $a=1$ $k=\log(2)/2\pi$
t=(0:0.02:3)*2*pi; r =exp(t*log(2)/2/pi);
polar(t,r); x=r.*cos(t); y=r.*sin(t); plot(x,y)