Komplexe Zahlen

20-28   Addition von komplexen Zahlen - grafisch

 
Programmieren Sie die grafische Darstellung der Addition von zwei komplexen Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene! (Funktions-M-file mit zwei komplexen Zahlen als Eingabe und der Summe als Rückgabewert, sowie der gemeinsamen grafischen Darstellung der drei Zahlen (Vektoren), je in verschiedenen Farben).

20-29   Sinus und Kosinus durch $\exp(i\cdot \phi)$ ausdrücken

 
Durch Bilden der Summe und der Differenz der Euler'sche Identität für positive und negative Winkel: $\mathrm{e}^{\pm i*w} = \cos(w) \pm i*\sin(w)$ erhält man die bekannten Formeln, welche die Funktionen cos(w) und sin(w) durch Exponentialfunktionen von w (bzw. von i*w) auszudrücken. Führen Sie diese Berechnungen selbst aus und kontrollieren Sie Ihr Resultat mit der Formelsammlung!

20-30   Mehrwinkelformeln aus den Potenzen der Euler'schen Identität

 
Wenn man die Euler'sche Identität potenziert, so erhält man die Moivre'schen Formeln:
$(\mathrm{e}^{i*w})^n = ( \cos(w) + i*\sin(w) )^n = \cos(n*w) + i*\sin(n*w)$, Benutzen Sie diese sowie die binomischen Formeln, um die bekannten Formeln für die trigonometrischen Funktionen für doppelte und dreifache Winkel selbst herzuleiten.

20-31   Komplexe Gleichung 4. Grades

 
Suchen Sie alle Lösungen der Gleichung $Z^4 = i$. Beachten Sie die kleinen aber wesentlichen Unterschiede zu den Lösungen des wohlbekannten Problems $V^4 = 1$.