,,Turm``- und ,,Specht``-Matrizen

30-34   ,,Spechtmatrizen`` - Effekt der Matrixmultiplikation

 
Füllen Sie eine 4x4 Matrix M der Reihe nach mit den Zahlen 1 .. 16.
Erzeugen Sie eine andere 4x4 Matrix S mit lauter Nullen, außer einer einzigen Eins. Beobachten Sie den Effekt, den die Multiplikationen S*M und M*S produzieren für verschieden gewählte Positionen der Eins innerhalb von S!

30-35  Spechtmatrizen - Zeilenselektion

 
Erstellen Sie als Testobjekt T eine 5x5 Index-Anzeige-Matrix (mit zweistelligen Zahlen die den Indizes entsprechen, z.B. $a_{11}=11$, $a_{34}= 34$)
Multiplizieren Sie diese mit der geeigneten Spechtmatrix von links her, mit dem Ziel, die erste Zeile von T in die 1., 2., 4. und 5. Zeile zu platzieren.
Bestimmen und testen Sie ebenso die notwendigen Spechtmatrizen für eine analoge Platzierung der 4. und der 5. Zeile von T.

30-36   Spechtmatrizen - Spaltenselektion:

 
Verwenden Sie wieder als Testobjekt T eine 5x5 Index-Anzeige-Matrix.
Multiplizieren Sie diese Matrix mit der geeigneten Spechtmatrix von rechts her, mit dem Ziel, die erste Spalte von T in die 1., 2., 4. und 5. Spalte der Resultatmatrix zu platzieren.
Bestimmen und testen Sie ebenso die notwendigen Spechtmatrizen für eine analoge Platzierung der 4. und der 5. Spalte von T.

30-37   Turmmatrizen sind orthogonal

 
Quadratische (nxn), sogenannte ,,Turmmatrizen`` haben in jeder Zeile und in jeder Kolonne genau eine Eins und sonst lauter Nullen. (So könnte man Türme auf ein Schachbrett stellen, die sich gegenseitig nicht bedrohen.) Diese Matrizen vertauschen die Reihenfolge der Zeilen von Matrizen die damit multipliziert werden.
Erzeugen Sie einige Beispiele von solchen Matrizen und überzeugen Sie sich davon, dass: - $T*T^T = I$ ist;    - alle T orthogonal sind. Das Produkt einer orthogonalen Matrix mit Ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix.

30-38   Potenzen von Turmmatrizen

 
Potenzieren Sie die in der vorherigen Übung erstellten Turmmatrizen mit ganzzahligen Exponenten. Welches ist der kleinste Exponent, bei welchem $T^n = I$ wird?
Dieser kleinste Exponent kann nie größer als die Dimension sein!

30-39   Zufällig erzeugte Turmmatrizen

 
Da die Anzahl möglicher Permutationen bei größerem $n$ rasant ansteigt $(P_n = n!)$, ergäbe es eine Riesenarbeit, alle möglichen Permutationsmatrizen aufzuschreiben. Versuchen Sie ein MATLAB-Programm zu schreiben, das mit Hilfe der Zufallsfunktion eine Turmmatrix erzeugt, d.h., das die Zufallsfunktion rand(1) benutzt, um eine Turmmatrix zu vorgegebener Dimension $n$ festzulegen.

30-40   Durch Permutationsangabe definierte Turmmatrix

 
Erstellen Sie ein MATLAB-Programm (als Funktions-M-File), das einen Spaltenvektor mit den Zahlen von $1$ bis $n$ in beliebiger Reihenfolge als Eingabe benötigt, und daraus diejenige Turmmatrix produziert, welche die im Eingabevektor enthaltene Permutation erzeugt. Als Test kann die Multiplikation der Turmmatrix von links an einen Vektor mit der natürlichen Abfolge der Zahlen $1, 2, 3,\ldots,n$ dienen. Durch diese Multiplikation soll der vorgegebene Vektor erzeugt werden.

30-41   Scroll-up- und Scroll-down-Matrizen

 
Spezielle Turmmatrizen sind die Scroll-up- (bzw. Scroll-down)-Matrizen (fast alle Einsen direkt oberhalb/ unterhalb der Diagonalen). Bei der Multiplikation von links schieben Sie alle Zeilen der rechts stehenden Matrix (alle Werte eines rechts stehenden Vektors) um einen Platz nach oben (bzw. unten). Wird das am Rand herausfallende Element am anderen Rand eingefüllt, so nennt man die Scroll-up/down-Abbildung zyklisch. Fällt das Element am Rand weg, so sind die Matrizen keine eigentlichen Turmmatrizen mehr.
Erstellen Sie für die Dimension 5 alle 4 Typen: zyklische und nicht zyklische Scroll-up- und Scroll-down-Matrizen und testen Sie deren Wirkung an einem Spaltenvektor mit den Zahlen 1:5.
Überlegen Sie sich, welchen Rang diese 4 Matrizen haben und kontrollieren Sie Ihr Resultat mit MATLAB.

30-42   Die Wirkung von Turmmatrizen

 
Testen Sie die Wirkung einiger Turmmatrizen (insbesondere der Sroll up/down Matrizen) beim Multiplizieren der Index-Anzeige-Matrix von links her und von rechts her.

30-43   Die Wirkung von Auswahl- und Permutationsmatrizen

 
Bestimmen Sie die Matrizen $Pl$ und $Pr$ so, dass für beliebige $a_k .. d_k$ gilt:

$$\left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0& 0 \\ a_4 & a_3 & a_2 & a_1 ... ... \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array} \right) \cdot Pr$$

30-44   Turmmatrizen zu elementaren Permutationen

 
Turmmatrizen, welche sich nur an zwei Stellen von einer Einheitsmatrix unterscheiden: Beinahe-Einheitsmatrizen $B=I$, außer $b_{jk} = 1$, $b_{kj} = 1$ und $b_{jj} = 0$, $b_{kk} = 0$ bewirken nur eine einzige Permutation zwischen j und k. Aus Produkten von solchen Elementarpermutationen kann man jede Turmmatrix herstellen. Für jede B-Matrix gilt $B^2 = I$. Testen Sie diese beiden Eigenschaften an einfachen Beispielen, z.B. an der Permutation [4 3 2 1] aus [1 2 3 4], bzw. an den Paaren j,k = 1,2, oder 1,4, oder 2,4.

30-45   Zeilen- und Spaltenpermutationen erzeugen

 
Bestimmen Sie zwei 4x4 Turmmatrizen Tl und Tr, (eine von links und eine von rechts zu multiplizierende) so, dass dadurch ( mit Tl*A*Tr) $a_{44}$ an die linke obere Ecke und $a_{11}$ an die rechte untere Ecke verschoben werden!