Vektorgeometrie in 3D

40-6  Normalenvektoren im Tetraeder:

 
Bestimmen Sie die vier Einheitsnormalenvektoren zu den Flächen eines regulären Tetraeders, welcher mit der Grundfläche auf der x-y-Ebene steht und eine Kante parallel zur x-Achse hat.

40-7  Gerade durch einen Oktaeder:

 
Ein Oktaeder hat die Ecken A=(4/0/0), B=(0/4/0) , C=(-4/0/0), D=(0/-4/0), E=(0/0/4), F=(0/0/-4). Zeichnen Sie diesen Oktaeder mit plot3() in 3D, indem Sie die Punkte zu einem Linienzug zusammenstellen (einzelne Kanten werden mehrfach durchlaufen).
Bestimmen Sie die Gerade (Geradengleichung in Punkt-Richtungs-Form), welche den Mittelpunkt der Strecke DE mit dem Schwerpunkt des Dreiecks ABE verbindet und suchen Sie den Durchstoßpunkt dieser Geraden durch die x-y-Ebene! Zeichnen Sie diese Gerade mit den drei speziellen Punkten in dieselbe Grafik ein!

40-8  Vierseitige Pyramide

 
Eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen mit der Kantenlänge 10 m hat ihre 4 Ecken genau nach Norden, Osten, Süden und Westen orientiert. An einem Sommertag steht die Sonne 15 $^{\mathrm{o}}$ über dem Horizont, wenn sie genau im Westen steht. Wie weit ist der Schatten der Pyramidenspitze vom Zentrum der Grundfläche entfernt, und welchen Winkel bilden dann die Schattengrenzen?

40-9   Ebenes Viereck im Raum

 
Suchen Sie die x-Koordinate des Punktes D=(x/0/0) so, dass er mit den drei Punkten A=(0/0/4), B=(-4/3/3) und C=(0/4/0) in derselben Ebene liegt. Berechnen sie anschließend den Schwerpunkt des so entstandenen ebenen Vierecks (als gewichtetes Mittel aus zwei Dreiecksschwerpunkten mit den Dreiecksflächen als Gewichte).

40-10   Ebene in Hesse'scher Normalform

 
Bestimmen Sie die Hesse'sche Normalform der Ebene durch die Punkte A=(3/0/0) , B=(0/4/0), C=(0/0/3.2) und berechnen sie den Abstand des Koordinatenursprungs von dieser Ebene!