Partielle Ableitungen

60-9   Analytische Bestimmung von partiellen Ableitungen

 
Bestimmen Sie je alle möglichen partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen:

a)

$x^2 e^y \sin(z)$

b)

$e^{xy} +e^{-xy}$

c)

$\sin^2(x) \cdot \cos^3(z)$

d)

$x^3 y^2 z \frac{1}{u}$

60-10  Bestimmen von partiellen Ableitungen:

 
Bestimmen Sie jeweils analytisch alle partiellen Ableitungen der untenstehenden Funktionen:

   a)$$~F(x,y,z) = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}$$

   b)$$~F(x,y)= \sin(x*\cos(4y))$$

   c)$$~F(x,y,z)= z^2\sqrt{xz + y/z}$$

60-11   Gradient: alle partiellen Ableitungen in einem Vektor zusammengefasst

 
Bestimmen Sie je $\mathrm{grad} F = \displaystyle\left[ \frac{ \partial{ F}}{ \partial{ x}} ~~\frac{\partial{F}}{\partial y} ~~\frac{\partial{F}}{\partial z} \right]'$

a)

$F = x^2 + y^2$

b)

$F = \sin(x) \cdot \cos(y) ~~~ 0 \leq x,y \leq 2\pi$

c)

$F = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

60-12  Gradientenplot

 
Zeichnen Sie die zuerst die Höhenlinien der Funktion $F(x,y)= \sin(\pi\cdot x) \cdot \sin(\pi\cdot y)$    im Bereich $x,\,y = 0 \ldots 1$
Darin soll nun ein Feld von kleinen Strichen (bzw Pfeilen) eingezeichnet werden, welche die Gradientenvektoren darstellen. Dazu existieren die Bibliotheksfunktionen gradient() quiver();

60-13   Partielle Ableitungen und Gradientenfunktion:

 
Bilden Sie die beiden partiellen Ableitungen der Jurahügelfunktion $h(x,y) = 1600 - (x/1000)^2*50 - (y/250)^2*50$ und stellen Sie diese ebenfalls je als zweidimensionale Funktion dar!
Zeichnen Sie in den Konturplot der Originalfunktion die Gradientenvektoren ein!

60-14   Konturplots und Gradientenvektoren

 
Zeichnen Sie die Höhenlinien und 3D-Flächendarstellungen (surf) für die folgenden Funktionen: (alle im Bereich $x,\,y = \pm 1$)

a)

$F(x,y)= 1 - x^2 -0.2 \cdot y^2$

b)

$F(x,y)= \sin(\pi\cdot x) \cdot \sin(\pi\cdot y)$

c)

$F(x,y)= (x^2 - \vert x^3\vert)\cdot (y^2 - \vert y^3\vert)$

Der Gradientenvektor, d.h. die Einreihung der partiellen Ableitungen als Komponenten eines Vektors, liefert eine Art Funktion von mehreren Variablen mit der speziellen Eigenschaft, dass für jeden Punkt (bzw. jede Kombination der unabhängigen Variablen) mehrere Funktionswerte geliefert werden. Man nennt dies eine vektorwertige Funktion.
Bestimmen Sie die Gradientenvektoren der oben angegebenen Funktionen.

60-15   Stationäre Punkte

 
Suchen Sie die stationären Punkte (beide partiellen Ableitungen gleichzeitig Null) in der Funktion $F(x,y)= (x^2 - x^4)\cdot (y^2 - y^4)$ und vergleichen Sie das Ergebnis mit den Formen der Höhenlinien in der vorhergehenden Aufgabe!

60-16  Biquartische Funktion

 
Zeichnen Sie einen Konturplot der biquartischen Funktion (in beiden Richtungen vom 4. Grad), welche im untenstehenden M-File definiert wird. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen dieser Funktion und zeichnen Sie Gradientenvektoren in den Kontur-Plot ein!

   for k=1:50
     for l = 1:50
       x = (k -26)*0.07; y = (l-26)*0.07;
       V(l,k)=(0.25*x^4-0.5*x^2)-0.12*x +(0.25*y^4-0.5*y^2)+1-0.05*y;
     end
   end

60-17  Das elektrische Potential einer Punktladung:

 
Das elektrische Potential einer Punktladung ist gegeben durch die Formel:
$${\phi (r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon _0}} \cdot \frac{1}{r}$$ Dabei ist Q die Ladung und $\varepsilon _0$ die Dielektrizitätskonstante. Schreiben Sie diese Funktion in eine Funktion der kartesischen Koordinaten $x,~y,~z$ um und berechnen Sie die drei partiellen Ableitungen analytisch, je ebenfalls als Funktionen der drei Variablen $x,~y,~z$. Durch Zusammenstellen dieser drei Funktionen als Gradientenvektor erhalten Sie die Vektorfunktion des elektrischen Feldes $E = grad(\phi)$.