Fitprobleme

60-18  Geraden- Parabel- und kubischer Fit

 
Bestimmen Sie die Gleichungen für einen Parabelfit $y = p_1*x^2 + p_2*x + p_3$ und einen Fit an eine Funktion dritten Grades $y = p_1*x^3 + p_2*x^2 + p_3*x + p_4$ analog zur Herleitung für den Geradenfit.
Dazu werden die partiellen Ableitungen der Zielfunktionen
$\sum{ ( p_1*x_k^2 + p_2*x_k + p_3 -y_k)^2 }$ nach $p_1 \ldots p_3$ bzw.
$\sum{ ( p_1*x_k^3 +p_2*x_k^2 + p_3*x_k + p_4 -y_k)^2 }$ nach $p_1 \ldots p_4$ Null gesetzt werden.
Programmieren Sie diese zwei Fälle sowie den Geradenfit in MATLAB und wenden Sie die M-Files auf die untenstehenden Punkte an!
$x_k = 0.0,~ 1.0,~ 2.0,~ 3.0,~ 4.0$
$y_k = 1.0,~ 1.2,~ 2.2,~ 3.0,~ 3.6$

60-19   Kubischer Fit

 
Suchen Sie die beste Kurve 3. Grades (bzw. die Koeffizienten $a_3,~ a_2,~ a_1,~,a_0$ ) durch die Punkte $(-3/-7),~(-2/-5),~ (-1/-2),~ (0/0),~ (1/-1),~ (2/2),~ (3/0)$ durch Aufstellen der Fehlergleichungen und anschließende Standard MATLAB-Lösung.

60-20   Fit mit Gewicht:

 
Bestimmen Sie nach dem Gauß'schen Ausgleichsprinzip die beste Gerade durch die Punkte $(-2/-2),~ (-1/0),~ (0/1),~ (1/1.5),~ (2/3)$
a) durch Lösen der Normalengleichungen
b) durch Aufstellen der Fehlergleichungen und MATLAB-Lösung A $\backslash$ b
Diese beiden Fits sollen anschließend wiederholt werden unter Anwendung der Gewichte (4, 2, 1, 2, 4) für die gegebenen Punkte. Vergleichen Sie die verschiedenen Resultate!

60-21   Fehlergleichungen

 
Wenn man die Formeln genauer analysiert, sieht man, dass die einfachen Fitverfahren ein Problem der Art $A^T \cdot A \cdot p = A^T \cdot y$ lösen.
A ist dabei die Matrix aus den Vektoren [ x. ^2 x ones(n,1) ]
In MATLAB kann man aber direkt das überbestimmte Fehlergleichungssystem lösen:
MATLAB löst mit $p = A \backslash y$ ein überbestimmtes System $A \cdot p = y$ automatisch im Sinne eines Fits!
Lösen Sie die obigen Fitprobleme auch noch mit dem viel einfacheren Prinzip der Fehlergleichungen!

60-22   Fit nach Potenzfunktionen

 
Gegeben sind die Punkte (1/1) (2/3) (3/4) (4/2) (5/1). Suchen Sie die bestem Parameter A, B, C, (evtl. D), damit die Funktionen

a)

$A+B\cdot x + C \cdot x^2$

b)

$A+B\cdot x + C \cdot x^2 + D \cdot x^3$

möglichst nahe an die Punkte kommen. Stellen Sie die Funktionskurve und die Punkte mit MATLAB grafisch dar!
Lösen Sie jede der Aufgaben sowohl mit den Normalengleichungen als auch mit den Fehlergleichungen und testen Sie jeweils die Formel $A^T \cdot A = N$.

60-23   Fit nach frei festlegbaren Funktionen

 
Schreiben Sie ein Skript-M-File, das einen Fit n gegebenen Punkten $x_x,~y_k$ an eine Linearkombination von drei frei festlegbaren Funktionen A*fitfun1(x)+ B*fitfun2(x) =C*fitfun3(x) durchführt!
Testen Sie dieses, indem Sie 5 Punkte der Sinusfunktion zwischen 0 und $\pi$ wählen und als fitfun1 bis 3 die Konstante 1, die Funktion $x$ und die Funktion $x^2$ wählen.

60-24   Orthogonale Funktionen beim Fitten:

 
Fitten Sie die untenstehenden Punktreihen nacheinander (mit der Methode der Fehlergleichungen) nach 1, 2 oder allen 3 der Funktionen $\sin(2\pi \cdot x), \sin(2 \cdot 2\pi \cdot x), \sin(4 \cdot 2\pi \cdot x)$
Beachten Sie, dass die bei der kleineren Gruppe gefundenen Koeffizienten dieselben sind, wie wenn nach einer größere Anzahl solcher Funktionen gefittet wird.
Dies ist die Eigenschaft der in der Fourier-Zerlegung verwendeten Funktionen die man Orthogonalität von Funktionen nennt.

$x_k = 0.0 ,~ 0.1 ,~ 0.2 ,~ 0.3 , ~ 0.4, ~ 0.5,~ 0.6,~ 0.7,~ 0.8, ~ 0.9$
$y_k = 0.0,~ 1.0 ,~ 1.2,~ 0 ,~ 1.0,~ 0.0,~ 0,~ 0 ,~ 0,~ -1.0$