Implizite Schleifen und Summen

10-9   Summen von natürlichen Zahlenreihen

 
Der Mathematiker Karl Friedrich Gauß sollte als Primarschüler mit der Aufgabe beschäftigt werden, alle Zahlen von $1$ bis und mit $100$ zusammenzuzählen. Da er sofort das Prinzip herausfand, dass jede Zusammenfassung einer Zahl aus der unteren Hälfte mit einer passenden aus der oberen Hälfte den Wert $101$ ergab, und dass es $50$ solche Paare gab, fand er sehr schnell das Resultat $5050 = 101 * 50$.

Die allgemeine Formel für die Summe einer Reihe natürlicher Zahlen von $a$ bis $b$ lautet

$$s = 1/2 \cdot (a + b) \cdot (b-a +1) .$$

Testen Sie diese Formel, indem Sie verschiedene Reihen mit dem Befehl r = a:b erzeugen und deren Summe mit sum(r), sowie mit der obigen Formel berechnen.

10-10   Summen von allgemeinen arithmetischen Reihen

 
Eine allgemeine arithmetische Reihe ist definiert durch die Formel für das allgemeine Element: $a_k = a_1 + (k-1) \cdot d ~~;~~~~ k = 1 \ldots n$.

Die zugehörige Summenformel lautet:

$$s = 1/2 \cdot n \cdot (a_1 + a_n) = 1/2 \cdot n \cdot (2\cdot a_1 + (n-1)*d).$$

Verwenden Sie wiederum den impliziten Schleifenoperator : (diesmal in der Form a:d:b), um verschiedene arithmetische Reihen zu erzeugen und anschließend deren Summe mit sum(r) zu berechnen. Vergleichen Sie jeweils den so bestimmten Summenwert mit dem Resultat der Formelauswertung! (Mögliche Beispielwerte sind $a_1 = 1, 0, 10, -20, 0.1$,
$d = 2, 3, -2, 5, 0.1$ und $n = 101, 12, 11, 10, 10$.)
Trotz des Vorfaktors $1/2$ wird das Resultat für ganzzahlige $a_1$ und $d$ immer ganzzahlig; ein ganz kleines mathematisches Wunder!

10-11   Summenwert von magischen Quadraten

 
Ein magisches Quadrat der Dimension nxn enthält alle natürlichen Zahlen zwischen $1$ und $n^2$. Der Wert der überall gleichen Zeilen- und Spaltensummen lässt sich aus folgender Überlegung bestimmen: er muss $n$ mal dem Durchschnittswert aller Elemente entsprechen. Berechnen Sie diesen Summenwert für $n=3, 4, 6, 9$!