Fourier-Analyse, Fourier-Transformation

50-15   Orthogonalität von Sinus und Kosinus

 
Erstellen Sie ein Funktions-M-File mit den Eingabeparametern n, A, B und k, das eine Zahlenfolge der Länge n erzeugt, welche der Funktion $A*\cos(k*2\pi*m/n) + B*\sin(k*2\pi*m/n) ~,~~m = 0 \ldots (n-1)$ entspricht.
Testen Sie an einigen Beispielen (nach Vorwahl von 'n') die Werte für sum(sico(n,1,0,ka).*sico(n,1,0,kb)) für gleiche und für verschiedene 'ka', 'kb'. (= Skalarprodukt von Funktionen). Ebenso sollten sum(sico(n,1,0,ka).*sico(n,0,1,kb)) für beliebige 'ka', 'kb' immer Null geben.
Was bedeutet der Zahlenwert, den Sie beim Skalarprodukt von zwei identischen Folgen erhalten?

50-16   Grundeigenschaften der Fourier-Analyse

 
Sehen Sie sich die Resultatgrafiken des MATLAB-Skripts foudem.m für verschiedene Eingangsfunktionen an (fdefXXX.m können verschiedene Zeitfunktionen, alle mit dem Namen 'f' definiert werden). Beachten Sie besonders, dass:

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gerade Funktionen nur cos-Koeffizienten und

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ungerade nur sin-Koeffizienten aufweisen,

-

Phasenverschiebungen die Gesamtamplitude konstant halten, aber die Anteile von sin und cos verändern, und dass

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bei steileren Flanken der Zeitfunktion die Amplituden der höheren Harmonischen zunehmen.

50-17   Verschiedene Darstellungen der Fourier-Transformierten

 
Betrachten Sie im Demo-Skript foushow.m die verschiedenen Darstellungsarten von Fourier-Transformierten! (benötigt rearrg.m)
Die meisten der dazugehörenden Funktionen sind selbsterklärend.

fdefnarrpeak.m ,   fdefmedpeak.m ,   fdefwidpeak.m ,  fdefsquare.m

ergeben verschieden breite Rechteckpeaks,

fdefsin.m ,  fdefcos.m ,

ergeben die Elementarfunktionen und

fdeftriang.m ,  fdefsaegz.m ,  sowie  fdefhat.m

ergeben verschiedene Arten von Dreiecksfunktionen.

50-18   Fourier-Transformation von Rechteckpulsen

 
Erzeugen Sie eine Funktion zum Herstellen von Zahlenreihen, welche Rechteckpulse darstellen. Als Eingabeparameter benötigen Sie die Anzahl Punkte, die linke Flanke und die rechte Flanke. Betrachten Sie jeweils mit foushow.m die Effekte einer Breitenänderung und einer Positionsänderung des Rechteckpeaks. Überlegen Sie sich in jedem Fall vorher, was Sie als Resultat erwarten, und versuchen Sie die Fälle zu verstehen, in denen Ihre Prognose falsch war.

50-19   Fourier-Koeffizienten mit negativen und positiven Frequenzen

 
Das Skript foushow.m (benötigt rearrg.m ) zeigt alle Darstellungen nacheinander: die Fourier-Koeffizienten für cos und sin, dann die direkten Resultate der fft (fast fourier transform, ohne Normierung) und dann die Darstellung mit negativen und positiven Frequenzen.
In der Darstellung mit negativen und positiven Frequenzen müssen die Realteile der Koeffizienten symmetrisch zur y-Achse sein (gerade Funktion) und die Imaginärteile punktsymmetrisch zum Ursprung, damit eine reelle Zeitfunktion dargestellt wird.
Dann stimmen nämlich die Euler'sche Relation $\mathrm{e}^{j\omega k } = \cos(\omega k ) + j*\sin(\omega k )$ und die daraus abgeleiteten Formeln $\cos(\omega k ) = 1/2*( \mathrm{e}^{j\omega k } + \mathrm{e}^{-j\omega k })$ und $\sin(\omega k ) = 1/2j*( \mathrm{e}^{j\omega k } - \mathrm{e}^{-j\omega k })$.
Mit foushowexp.m (benötigt ebenfalls rearrg.m ) erhalten Sie direkt diese Darstellung.

50-20   Das Gibbs'sche Phänomen

 
Wenn zu einer Funktion die Fourier-Koeffizienten bestimmt werden, und diese vor der Synthese ab einer bestimmten Frequenz abrupt Null gesetzt werden, so entsteht das Gibbs'sche Phänomen, ein Überschwingen der rekonstruierten Funktion bei den steilen Flanken der Originalfunktion.
Dies kann mit dem M-File fclipm.m demonstriert werden.
Wie dieser Effekt durch ein sanftes Auslaufen der Fourier-Koeffizienten (mit Hilfe der Lanczos-Faktoren) vermieden werden kann, zeigt das Skript fclipla.m .