50 / 116
G E S C H I C H T E
50
Physik Journal 15 (2016) Nr. 3
© 2016 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
Diese Charakterisierung ist
aber nicht invariant gegen be-
liebige Koordinaten- und affine
Parameter-Transformationen, was
Einstein meisterhaft herausgestellt
hat. Galileis Trägheitsgesetz lautet
„in ausführlicher Formulierung
notwendig so: Voneinander hinrei-
chend entfernte materielle Punkte
bewegen sich geradlinig gleichför-
mig − vorausgesetzt, daß man die
Bewegung auf ein passend bewegtes
Koordinatensystem bezieht und
daß man die Zeit passend definiert.
Wer empfindet nicht das Peinliche
einer solchen Formulierung? Den
Nachsatz weglassen aber bedeutete
eine Unredlichkeit.“
[8]
Eine nichtlineare Koordinaten-
transformation
x
μ
→ x´
μ
und eine
affine Transformation der Zeit
τ → σ
überführt die freie Bewe-
gungsgleichung d
2
x
μ
/
d
τ
2
=
0 in die
Geodätengleichung
d
2
x΄
μ
_
___
d
σ
2
+ Γ
μ
νλ
(
x΄
ρ
)
d
x΄
ν
___
d
σ
d
x΄
λ
___
d
σ
=
0,
mit den Christoffel-Symbolen
Γ
μ
νλ
.
Die physikalische Bedeutung dieser
Gleichung hat wieder Einstein glän-
zend charakterisiert
[9]
: „Die Ein-
heit von Trägheit und Gravitation
drückt sich formal dadurch aus,
daß wohl die ganze linke Seite [der
Geodätengleichung] Tensorcha-
rakter hat (in bezug auf beliebige
Koordinatentransformationen),
nicht aber die beiden Glieder ein-
zeln genommen, von denen man
in Analogie zu den Newtonschen
Gleichungen das erste als Aus-
druck der Trägheit, das zweite als
Ausdruck der Gravitationskraft zu
betrachten hätte.“
Ein Vergleich der Geodäten-
gleichung mit der ursprünglichen
Gleichung d
2
x
μ
/
d
τ
2
=
0 zeigt,
dass sich solche (Vierer-)Kräfte
wegtransformieren lassen, die
proportional zu d
x´
μ
/
d
σ
oder bi-
linear in diesem Ausdruck sind.
Bemerkenswert ist die Tatsache,
dass die Lorentzkraft der Elektro-
dynamik die einfachste nicht-weg-
transformierbare Kraft ist. Um der
„Peinlichkeit“ der obigen koordina-
tenabhängigen Charakterisierung
von geraden Linien zu entgehen
(eine rein projektive Fassung des
Bewegungsgesetzes findet sich in
[7]
), kann man sie auch invariant
mithilfe der projektiven Geometrie
charakterisieren
[11]
. Schon Lange
meinte: „In Hinsicht auf die Eleganz
der Systematik mag sich die Mecha-
nik ein Beispiel an der projektiven
Geometrie nehmen.“ Der wesent-
liche Inhalt des Trägheitsgesetzes ist
dann gemäß obigen Analysen das
folgende „Wunder der Natur“: Die
einfachsten und elementarsten Ob-
jekte der Natur, die freien Teilchen,
bewegen sich (bei Vernachlässigung
der Gravitation) auf den mathe-
matisch einfachsten Bahnen in der
Raumzeit, den geraden Linien.
Trägheit allgemeinrelativistisch
Einstein erweiterte das Trägheits-
konzept erheblich durch sein Äqui-
valenzprinzip von 1907: Trägheit
und Gravitation bilden eine Einheit
und sind zumindest lokal äquiva-
lent. Außerdem tragen gemäß dem
Gesetz
E = mc
2
alle Energieformen
zur Trägheit bei. Die obigen Defi-
nitionen von freien Teilchen und
geraden Linien lassen sich auch auf
die Physik in starken Gravitations-
feldern übertragen. Dann gibt es
aber aufgrund der Raumzeit-Krüm-
mung keine physikalischen Objekte
mehr, die sich global auf geraden
Linien bewegen, d. h. es gibt keine
globalen Inertialsysteme mehr.
Für das Trägheits-Konzept von
besonderer Bedeutung sind (nicht-
Newtonsche) Mitführungseffekte,
wie Einstein sie bereits 1913 in einer
Vorläufer-Theorie der Allgemeinen
Relativitätstheorie (ART) berechnet
hatte: Beschleunigte Massen indu-
zieren für Testteilchen und Iner-
tialsysteme parallele Beschleuni-
gungen. So induziert eine rotieren-
de Hohlkugel in ihrem Innern die
aus der nichtrelativistischen Physik
wohlbekannten Coriolis- und Zen-
trifugal-Kräfte
[12]
. Bemerkenswert
ist aber, dass die rotierenden oder
linear beschleunigten Hohlkugeln
beliebig groß sein können und im-
mer noch in ihrem ganzen Innern
eine flache Raumzeit realisieren.
Das hat in
[12]
Anlass dazu gegeben,
ein quasiglobales Äquivalenzprin-
zip zu formulieren, das in Kurzform
lautet: „Jedes Beschleunigungsfeld
kann als Gravitationsfeld verstan-
den werden.“ Kurioserweise hat
Einstein bereits 1912/13 in Dis-
kussionen mit Paul Ehrenfest und
Gustav Mie eine solche „Makro-
Äquivalenz“ in Betracht gezogen,
aber letztlich verworfen.
In irdischen Labors und Satel-
liten sind diese Mitführungseffekte
meist sehr klein. Es gelang jedoch
sie in jüngerer Zeit – neunzig Jahre
nach ihrer theoretischen Voraussa-
ge durch Albert Einstein und Hans
Thirring – an Satelliten auf Bahnen
um die rotierende Erde erstmals
zweifelsfrei zu bestätigen: Die
LAGEOS-Satelliten erleiden eine
kleine Präzession ihrer Knotenlinie
von 0,031 Bogensekunden pro Jahr,
die mit 10 Prozent Genauigkeit
gemessen wurde
[13]
. Die Rotati-
onsachsen von Kreiseln werden
um 0,042 Bogensekunden pro Jahr
nachgeführt, was mit 19 Prozent
Genauigkeit gemessen wurde
[14]
.
Diese Experimente bestätigen zu-
gleich erstmals den nicht-Newton-
schen „Gravitomagnetismus“, der
durch Massenströme entsteht.
Ein kosmologischer Effekt?
Mach hat als erster und sehr dezi-
diert die „Quelle“ der Trägheit in
den kosmischen Massen vermutet,
etwa mit seinem berühmten Satz,
den ich oben zitiert habe. Die
Newtonsche Physik kann auf diese
Machschen Fragen keine Antwort
geben, da in ihr bewegte, beispiels-
weise rotierende Massen keine
zusätzlichen Kräfte bewirken. Das
leistet aber die ART mit ihren Phä-
3)
Viele der in diesem
Beitrag behandelten
Argumente sind mehr
im Detail ausgeführt im
kürzlich erschienenen
Buch
[15]
.
Ludwig Lange wurde am 21. Juni 1863 in Gießen als Sohn
eines Universitätsprofessors geboren. Er lebte lange Jahre
in Tübingen und Heilbronn und starb mit 73 Jahren in Wei-
ßenhof (Württemberg). Lange studierte Mathematik, Phy-
sik und weitere Fächer wie Psychologie in Leipzig und Gie-
ßen und promovierte 1886 zu den Prinzipien der Mechanik.
Sein Leben war stark beeinflusst durch phasenweise De-
pressionen, verbunden mit mehreren Klinikaufenthalten.
Trotz seiner Krankheit publizierte er neben zu Themen der
Physik in Psychologie, Photochemie und der Astronomie
und Kalenderkunde. Eine ordentliche Dauerstellung an
einer Universität blieb dem„zu Unrecht vergessenen“ (Max
v. Laue) Universalgelehrten jedoch zeitlebens verwehrt
[10]
.
L U DW I G L A N G E